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Chevalier Feuletonniste
Hors ligne

Comme le savent tous les élèves de terminale S, c'est demain à 8h qu'aura lieu l'épreuve de mathématiques du bac S. Il se trouve que, cette année, c'est à moi qu'on a confié la tâche de réaliser les sujets. Au cas où il y aurait des candidats au bac S qui traîneraient dans les parages, je me suis dit qu'il pourrait être utile que je divulgue les sujets un jour avant. Certes, je n'ai pas le droit de le faire, mais personne ne le saura, n'est-ce pas ? (De toute façon je nierai.)

Donc voici le sujet :

Mathématiques ‒ Série S ‒ Session 2016 ‒ France

Le sujet comporte cinq exercices indépendants. Le candidat doit traiter quatre exercices : les trois exercices communs 1 à 3, l'exercice 4 s'il n'a pas choisi l'enseignement de spécialité, l'exercice 5 s'il a choisi l'enseignement de spécialité.

Les bouliers mécaniques sont autorisés conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre.

Tout acte de tricherie manifeste sera puni selon les lois du royaume où réside le candidat (esclavage, bûcher, bannissement, malédiction, excommunication...)

La réponse « c'est pas faux » ne rapporte aucun point, sauf dans les QCM (à conction d'être assortie de sa justification).

Exercice 1 (5 points) ‒ La potion d'invisibilité

Cet exercice est commun à tous les candidats.

La potion d'invisibilité permet de rendre invisible un objet (ou une personne). Mais elle n'agit pas instantanément : le taux d'invisibilité n'atteint son maximum qu'au bout d'un certain temps, puis décroît. Lorsque ce taux vaut 0, il n'y a pas d'invisibilité. Lorsqu'il vaut 1, l'invisibilité est totale. Entre ces deux valeurs, l'invisibilité est partielle. Néanmoins, on observe en pratique qu'un taux de 0,9 est déjà suffisant pour que l'objet soit indécelable par des yeux humains.

L'évolution du taux d'invisibilité est décrite par la fonction f définie de la façon suivante : f(t) = C.t.exp(1-C.t), où t est le temps (en heures) écoulé depuis l'enchantement et C est la concentration du philtre (en pincées par galon). C est un nombre positif.

1) Étudier les variations de f sur l'ensemble des réels positifs. Calculer sa limite en l'infini et vérifier que f est bien compris entre 0 et 1.

2) On note T l'instant où le taux d'invisibilité atteint son maximum. Exprimer T en fonction de C.

3) Montrer qu'il existe un intervalle [a ; b] tel que si t est dans cet intervalle, alors f(t) est supérieur ou égal à 0,9 (l'objet est indécelable par des yeux humains).

4) Une deuxième potion est réalisée à partir d'une concentration mC (où m est un nombre positif). L'évolution du taux d'invisibilité est donc : g(t) = mC.t.exp(1-mC.t).
    a) Démontrer que g(t) = f(mt).
    b) En déduire que g(t) est supérieur ou égal à 0,9 si et seulement si t appartient à l'intervalle [a/m ; b/m].
    c) En comparant la durée d'indécelabilité avec la première potion et celle avec la deuxième potion, dire qui a raison :
    Merlin : « Pour que l'objet soit indécelable plus longtemps, il faut augmenter la concentration du philtre, c'est logique. »
    Élias : « Ah non mais on aura tout entendu ! C'est le contraire, espèce de grand salsifis ! »

Exercice 2 (6 points) ‒ Le jeu du caillou

Cet exercice est commun à tous les candidats.

Kadoc, Lancelot et Perceval jouent au jeu du caillou. Ils utilisent les règles dites « à l'amiable » : on joue 9 manches, et à chaque manche, on procède de la façon suivante :
    ‒ un gros caillou est placé à environ vingt pieds de la zone de tir ;
    ‒ chaque joueur, du moins expérimenté au plus expérimenté, lance un petit caillou en visant le gros ;
    ‒ le premier qui touche le gros caillou (« touché ») remporte la manche ;
    ‒ si personne n'a obtenu de touché, on recommence un nouveau tour (toujours dans l'ordre du moins expérimenté au plus expérimenté), et ainsi de suite éventuellement.

Remarque : l'ordre des lancers favorise les joueurs moins expérimentés, d'où le nom de cette variante.

Première partie.

On s'intéresse à l'une des neuf manches. On note Kn, Ln et Pn les événements respectifs « Kadoc gagne au n-ème tour », « Lancelot gagne au n-ème tour » et « Perceval gagne au n-ème tour ». On note Zn l'événement « à la fin du n-ème tour, toujours personne n'a obtenu de touché ».

Kadoc est un caillouteur de première force : lorsqu'il lance, il touche avec une probabilité de 0,9. Perceval, amateur habile, touche avec une probabilité de 0,4. Lancelot est un débutant maladroit : il touche avec une probabilité de 0,1.

1) Justifier que l'ordre des tireurs est : Lancelot, puis Perceval, puis Kadoc.

2) À l'aide d'un arbre, calculer P(K1), P(L1), P(P1) et P(Z1).

3) On définit les suites ln = P(Ln), pn = P(Pn) et kn = P(Kn). Démontrer que (ln) est une suite géométrique de raison 0,054 et de premier terme 0,1 (pour n=1).

4) On note L l'événement « Lancelot gagne la manche » et on admet que P(L) est obtenu en calculant la limite de la somme des ln. Calculer P(L) et donner une valeur approchée au millième. De même, calculer P(K) et P(P) pour les événements « Kadoc gagne la manche » et « Perceval gagne la manche ».

Deuxième partie

On note X la variable aléatoire égale au nombre de manches gagnées par Lancelot.

1) Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres 9 et 0,106.

2) Calculer la probabilité que Lancelot gagne plusieurs manches.

Exercice 3 (4 points) ‒ Le pain de Guethenoc

Cet exercice est commun à tous les candidats.

Il est connu que, dans le royaume de Logres, le pain est tellement mauvais que la probabilité qu'une miche de pain refile l'urticaire est de 0,17.

1) Justifier, en utilisant votre boulier, que l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des miches urticantes pour un échantillon de 40 miches de Logres est :
    ‒ [0,054 ; 0,286] au seuil 95 % ;
    ‒ [0,072 ; 0,268] au seuil 90 %.

2) 40 miches de pain provenant de la production de Guethenoc sont testées : 11 d'entre elles ont refilé l'urticaire. Doit-on rejeter l'hypothèse que la production de Guethenoc est conforme à la moyenne nationale ? (Répondre en utilisant les deux seuils.)

3) Le roi Arthur décide d'effectuer un test plus complet : il prélève un échantillon de 200 miches de pain de la production de Guethenoc.
    a) Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des miches urticantes pour un échantillon de 200 miches de Logres.
    b) Combien faut-il observer de miches urticantes dans l'échantillon de Guethenoc pour conclure, au risque de 5 %, que le pain de Guethenoc est encore plus mauvais que la production moyenne du royaume de Logres ?

Exercice 4 (5 points) ‒ L'émeraude géante de la grotte de Padraig

Cet exercice est réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.

L'émeraude détenue par l'ogre à deux têtes de la grotte de Padraig a la forme d'un octogone régulier.

1-a) Représenter l'émeraude en perspective cavalière (même si vous ne l'avez jamais vue à cheval) en utilisant la construction suivante : quatre sommets A, B, C, D forment un carré de centre O (que l'on représentera horizontalement), les sommets E et F sont situés sur la droite d perpendiculaire au carré ABCD passant par O, tels que OE = OF = OA.

1-b) Soit I le milieu de [EB]. Représenter l'intersection du plan AID avec les faces de l'émeraude (justifier la construction).

2-a) On choisit comme unité de longueur la distance OA (donc OA = 1). On considère le repère (O, OA, OB, OE). Justifier que ce repère est orthonormé.

2-b) Démontrer que les quadrilatères AECF et BEDF sont des carrés de mêmes longueurs que ABCD (on déterminera la longueur commune de leurs côtés).

2-c) En déduire que toutes les faces sont des triangles équilatéraux de mêmes longueurs (on déterminera la longueur commune de leurs côtés).

3-a) Déterminer une équation cartésienne du plan ABE.

3-b) En déduire, sans calcul mais par un raisonnement logique à rédiger, une équation cartésienne du plan CDF.

4) On admet qu'un objet peut resurgir sur autrui s'il a au moins un sommet faisant un angle aigu (angle strictement inférieur à 90°) dans un plan passant par le centre. L'émeraude est-elle incandescente ?

Exercice 5 (5 points) ‒ Les jeux du Pays de Galles

Cet exercice est réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

Première partie.

L'artichette est un jeu très en vogue au Pays de Galles. Dans ce jeu, chaque joueur lance un dé puis retire des feuilles d'artichaut. S'il a obtenu un 1, il retire trois feuilles. S'il a obtenu un 2, il en retire trois fois plus que s'il avait obtenu un 1. S'il a obtenu un 3, il en retire trois fois plus que s'il avait obtenu un 2. Et ainsi de suite.

Après avoir retiré un certain nombre de feuilles, il doit les ranger en faisant un tas de quatre, puis un tas de trois, puis un tas de quatre, puis un tas de trois, puis un tas de quatre, puis un tas de trois, et ainsi de suite jusqu'à n'avoir plus qu'un nombre de feuilles trop petit pour refaire un tas. Celui qui a le plus grand nombre de feuilles restantes a gagné.

Karadoc lance le dé et obtient un 4. Perceval obtient un 3. Le tavernier obtient un 6. Qui a gagné ?

Indication : on pourra calculer 3^n modulo 7 pour tout n allant de 1 à 6.

Deuxième partie

Perceval joue au jeu du Sloubi avec des bouts de bois. Mais il ne possède que des poutres de 7 pieds de long et des poutres de 11 pieds de long.

1) Pour construire une poutre de 1 pied de long, Perceval pose sur le sol, bout à bout, deux poutres de 11 pieds, puis, bout à bout, trois poutres de 7 pieds, en alignant l'une contre l'autre les deux lignes de poutres. Comme la première ligne fait 22 pieds et la deuxième ligne fait 21 pieds, il suffit de scier le « bout qui dépasse » pour obtenir une poutre de 1 pied de long. Mais peut-on obtenir par un procédé similaire une poutre de 5 pieds ?
    a) Justifier que c'est possible en appliquant le théorème de Bézout.
    b) Résoudre l'équation 11x - 7y = 5 pour x, y entiers relatifs.
    c) En déduire la solution utilisant le moins de poutres au total.

2) Pourrait-on construire des poutres de 1 pied de long à partir de poutres de 12 pieds et de 8 pieds ? Justifier.

Chevalier Pile Poil
Hors ligne

Faut faire suivre à A.A, c'est à la fois drôle et super bien foutu.

Attention, Kadoc devient Karadoc dans le jeu du caillou.

Chevalier So Briqué
Hors ligne

Bernard d'Arithmétique Seal of approval.

:lol:

Chevalier Allû Ciné
Hors ligne

J'ai rien rien rien, mais rien compris ! (Ce qui n'est une surprise pour personne, je le conçois).
Quoiqu'il en soit, chapeau bas. Bravo. Y'a du boulot pour pondre un truc pareil ! (espèce d'hérétique !)

Chevalière Parodisiaque
Hors ligne

*...*
- Tatie !
- Ouh ! Ouh ! Tatie ?
- Ah ! Je crois qu'elle ouvre un oeil ! Tatie ? Ça va ?
- Je euh... J'ai lu le sujet, j'ai vu tout noir et deux fois tout bleu et tout noir sans rien derrière. Ça fait un score de combien ?
*s'évanouit à nouveau*


:lol:
Magnifique travail, Agloval ! :D

Chevalier Kaabotin
Hors ligne

HAHA au début j'y croyais presque quoi, et puis j'ai lu. :lol: Bien ouèj !

Chevalier aux Pouces Verts
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Magnifique !
Tu t'es vraiment donné du mal, toutes mes féloches ! J'ai presque envie de m'y coller x)

Chevalier à la Subrogation
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Bravo, bon j'ai rien compris non plus mais bravo. :)

Tribunus Cohortis Bescherellae
Hors ligne

:lol:

Bernard, Bothan, on vous regarde. Nous, pendant ce temps, on va... vérifier... le nombre... d'orteils qu'on a à chaque pied. :|
10 ! Eh oui...

Chevalier Feuletonniste
Hors ligne

Mat : merci, je corrige !

Bernard d'Arithmétique : c'est toi qui tamponne les sujets officiels ? Ah, comme le monde est petit...

Tout le monde : figurez-vous que ce sujet est tout à fait conforme au programme de terminale S, et que je me suis même efforcé de réaliser des exercices assez classiques : une étude de fonction avec de l'exponentielle, des probabilités mélangées avec des suites (dont une limite de somme de suite géométrique, le coup classique), des intervalles de fluctuation, de la géométrie dans l'espace et de l'arithmétique. L'exercice sur le jeu du caillou est peut-être un peu difficile, et l'exercice de spécialité est un peu facile (et ne concerne que l'arithmétique, alors que dans un vrai sujet de bac il y aurait aussi un peu de matrices).

Ça ne m'a pas trop demandé de travail en fait car cette nuit j'ai mal dormi et je me suis amusé à imaginer l'exercice 1 pour m'aider à m'endormir (du coup il s'est passé l'inverse : je me suis levé à 6h pour le taper à l'ordinateur). Ensuite j'ai continué sur la lancée. Pour l'exercice de statistiques, je ne me suis pas embêté : j'ai recopié un exercice trouvé sur Internet où il était question d'efficacité d'un médicament, que j'ai remplacé par du pain.

Bref : même si c'est un délire, c'est un bon entraînement pour demain ! :)

On pourrait imaginer les sujets d'autres matières ? (Le sujet de philo, ça doit aller vite à taper. « Philosophie. Sujet 1 : « Le gras, c'est la vie. » Sujet 2 : « Il y a toujours au moins deux solutions à un problème. » etc.)

Tribunus Cohortis Bescherellae
Hors ligne

Je viens de réaliser que j't'ai même pas félicité ! Bravo, même si tu dis que ça a pas été beaucoup de travail, c'est balèze. ^^

Chevalier aux Pouces Verts
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Aglo a écrit :

Tout le monde : figurez-vous que ce sujet est tout à fait conforme au programme de terminale S

Bah je pense que tous ceux, ici, qui ont passé le Bac S ont eu l'impression de lire un véritable sujet ^^

Chevalier
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Nan mais le bac c'est surfait, faudra que tu obtiennes la responsabilité des sujets du concours de Normale Sup' l'année prochaine, ça c'est pour les vrais :b

Oui parce que hein, le bac, et surtout le sujet de philo, on en parle jusqu'au journal télé, alors que quand de malheureux élèves se tapent le sujet "Lire les philosophes" à l'épreuve de philo du concours d'HEC, là tout le monde s'en fout, comme par hasard ! :b

Chevalière Nebulis Causa
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:lol: :lol: :lol:

Et l'épreuve de philo ça donnait quoi  ?
Bon on a quatre heures pour remettre la copie, c'est bien ça ?

Chevalier So Briqué
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J'ose même pas imaginer la tronche d'un oral d'anglais de burgonde...

Chevalier Feuletonniste
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Ah, je viens de voir le sujet de ce matin, je suis déçu : ils ont mis le sujet de secours !

Comment ça se fait ? Il a dû y avoir une embrouille, genre le sujet qui a fuité, rha la la...

Chevalière Urbi et Urdi
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:lol:

Comme Bothan, ça me donne presque envie de faire le sujet :) (j'adorais les maths, 16 au bac S spé maths :cool:)

Félicitations Aglo !

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